函数的奇偶性怎么看？
发布时间：2024-06-29 21:02:56 | 917教育网
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函数的奇偶性怎样判断？
一般地，对于函数f(x)⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x）就叫做偶函数。关于y轴对称，f（-x）=f（x）。如f（x）＝x^2，
⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x）就叫做奇函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）。如f（x）＝x^3，
⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R关于原点对称.）那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(a）≠f(-a），存在一个b，使得f(-b）≠-f(b），那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称
特殊的，f（x）=0既是奇函数，又是偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
④如果一个奇函数f(x）在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。
⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f（x）=x³【-∞，-2】或【0，+∞】（定义域不关于原点对称）
⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如f（x）=0
注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有f(x)=0是既奇又偶函数
函数的奇偶性怎么看？
当x趋近于0时，所有指数函数趋近于1，所有对数函数都趋近于负无穷或正无穷，所有幂函数都趋近于0。
解析（规律）：
1、指数函数：
一般地，函数 (a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R。 对于一切指数函数来讲，值域为(0， +∞)。指数函数中 前面的系数为1。
所以当x趋近于0时，所有指数函数趋近于1。
2、对数函数：
一般地，函数y=log （a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。值域为（-∞，+∞）。
所以当x趋近于0时，所有对数函数都趋近于负无穷或正无穷。
3、幂函数
幂函数的一般形式是 ，其中，a可为任何常数，但中学阶段仅研究a为有理数的情形（a为无理数时取其近似的有理数），这时可表示为 ，其中m,n，k∈N*，且m，n互质。特别，当n=1时为整数指数幂。
所以当x趋近于0时，所有幂函数都趋近于0。
扩展资料：
一、对数函数的其他性质
1、定点：
对数函数的函数图像恒过定点（1，0）
2、单调性：
（1）a>1时，在定义域上为单调增函数。
（2）0<a<1时，在定义域上为单调减函数。
3、奇偶性：
非奇非偶函数。
4、周期性：
不是周期函数。
5、零点：
x=1注意：负数和0没有对数。
二、指数函数的其他性质
1、函数图形都是上凹的。函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，并且永不相交。
2、单调性：
（1）a>1时，则指数函数单调递增。
（2）若0<a<1，则指数函数单调递减。
3、定点：
函数总是通过（0，1）这点（若y=a*+b，则函数定过点{0，1+b）}
4、奇偶性：
指数函数是非奇非偶函数
5、反函数
指数函数具有反函数，其反函数是对数函数，它是一个多值函数。
三、幂函数的的其他性质
1、奇偶性：
（1）当m，n都为奇数，k为偶数时，定义域、值域均为R，为奇函数。
（2）当m，n都为奇数，k为奇数时，定义域、值域均为{x∈R|x≠0}，也就是（-∞，0）∪（0，+∞），为奇函数。
（3）当m为奇数，n为偶数，k为偶数时，定义域、值域均为[0，+∞），为非奇非偶函数。
（4）当m为奇数，n为偶数，k为奇数时，定义域、值均为（0，+∞），为非奇非偶函数。
（5）当m为偶数，n为奇数，k为偶数时，定义域为R、值域为[0，+∞），为偶函数。
（6）当m为偶数，n为奇数，k为奇数时，定义域为{x∈R|x≠0}，也就是（-∞，0）∪（0，+∞），值域为（0，+∞），为偶函数。
2、正值性质
当α>0时，幂函数 有下列性质：
(1)图像都经过点（1,1），（0,0）。
(2)函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数。 917教育网
(3)在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0。
3、负值性质
当α<0时，幂函数 有下列性质：
（1）图像都通过点（1,1）。
（2）图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。
（3）在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
4、零值性质
当α=0时，幂函数 有下列性质：
的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。
参考资料来源： 百度百科-对数函数
参考资料来源： 百度百科-指数函数
参考资料来源： 百度百科-幂函数
函数的奇偶性有哪些？
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函数的奇偶性口诀如下：奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数*奇函数=偶函数，偶函数*偶函数=偶函数，奇函数*偶函数=奇函数，复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外；复合函数的单调性：同增异减。
1、奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）。
2、偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。由单调性不能代表其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。
3、用定义来判断函数奇偶性，是主要方法。首先求出函数的定义域，验证是否关于原点对称。其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性。
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